Question

6．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，如，在图中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）请判断点M（1，3），N（3，6）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=x+3b（b为常数）上，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）根据和谐点的定义，利用点M、N的坐标分别求得矩形OAMB、OANB的周长与面积进行验证即可；
（2）根据和谐点的定义列出关于a方程，通过解方程可以求得a的值，然后把点P的坐标代入直线方程来求b的值即可．

解答 解：（1）点M不是和谐点，点N是和谐点．
理由：∵M（l，3），
∴L=（1+3）×2=8，S=1×3=3，
∵L≠S，
∴M（l，2）不是和谐点；
∵N（3，6），
∴L=（3+6）×2=18，S=3×6=18，
∵L=S，
∴N（3，6）是和谐点；

（2）∵P（a，3）是和谐点，
∴（a+3）×2=3a，
解得a=6．
∴P（6，3）代入y=x+3b，得
3=6+3b，
解得b=-1．
综上所述，a=6，b=-1．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．经过函数的某点一定在函数的图象上．