Question

16．抛物线y═ax²+bx-3（a≠0）经过点A（-1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设（1）中的抛物线交y轴于C点，过点C的直线交x轴于点M，交抛物线于点P，若∠MCA=∠MAC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y═ax²+bx-3，解方程组即可．
（2）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，根据对称的性质，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．
（3）如图3中，连接AC作线段AC的垂直平分线交x轴于M，先求出直线AC，线段AC的垂直平分线的解析式，再求出点M的坐标，求出直线CM的解析式与抛物线的解析式列为方程组，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y═ax²+bx-3，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）存在点Q的坐标．如图1中，

在抛物线y=x²-2x-3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B（3，0），
∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，
抛物线y=x²-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，-3），设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵直线BC过点B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∴当x=1时，y=-2．
∴点Q的坐标为（1，-2）．

（3）如图3中，连接AC作线段AC的垂直平分线交x轴于M，

∵MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA，
直线CM与抛物线的交点即可所求的点P．
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴直线AC的解析式为y=-3x-3，
∴线段AC的垂直平分线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
∴点M坐标（4，0），
∴直线CM解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{4}}\\{y=-\frac{15}{16}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标（$\frac{11}{4}$，-$\frac{15}{16}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．