Question

15．平面直角坐标系中．点A（0，1），点B是x轴负半轴上一点（不包括原点），△ABC是等边三角形且点C在直线AB的下方．小李同学发现，随着点B的运动，点C在某一条确定的直线上运动，则该直线的解析式为y=$\sqrt{3}$x-1．

Answer 1

分析 如图，过点C′作C′E⊥y轴，C′F⊥x轴于点F，依题意得C′F=$\frac{1}{2}$，利用勾股定理求出OF，然后可得点C的坐标；根据等边三角形的性质易求点C移动到y轴上的坐标是（0，-1），所以根据这两个点的坐标易求点C移动所得图象的解析式．

解答 解：如图，过点C′作C′F⊥x轴于点F，
∵△AOC′是等边三角形，OA=1，
∴C′F=$\frac{1}{2}$．
在Rt△OC′F中，EC′=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴点C′的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∵△AOC′与△ABC都是等边三角形，
∴AO=AC′，AB=AC，∠BAC=∠OAC′=60°，
∴∠BAC-∠OAC=∠OAC′-∠OAC，
∴∠BAO=∠CAC′，
在△AOB与△AC′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AC′}\\{∠BOA=∠CAC′}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△AC′C（SAS）．
∴∠BOA=∠CC′A=90°，
∴点C在过点C′且与AC′垂直的直线上，
∵点A的坐标是（0，1），△ABC是等边三角形，
∴点C移动到y轴上的坐标是（0，-1），
设点C所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．
把点（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）和（0，-1）分别代入，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以点C移动所得图象的解析式是为：y=$\sqrt{3}$x-1．
故答案为y=$\sqrt{3}$x-1．

点评 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，等边三角形的性质等知识．求得点C位于y轴负半轴上的坐标是解题的关键．