【题目】如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,2)
(1)点(k+1,2k﹣5)关于x轴的对称点在第一象限,a为实数k的范围内的最大整数,求A点的坐标及△AOB的面积;
(2)在(1)的条件下如图1,点P是第一象限内的点,且△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形,请直接写出P点坐标;
(3)在(1)的条件下,如图2,以AB、OB的作等边△ABC和等边△OBD,连接AD、OC交于E点,连接BE.
①求证:EB平分∠CED;
②M点是y轴上一动点,求AM+CM最小时点M的坐标.
【答案】(1)A(2,0),S△AOB=2;(2)P点坐标为(2+2,2)或(2,2+2);(3)①详见解析;②M(0,).
【解析】
(1)根据点在第四象限内,得出不等式,进而求出k的范围,进而求出点A坐标,最后用三角形面积公式即可得出结论;
(2)分两种情况:构造全等三角形求出PF和AF,即可求出点P坐标;
(3)①先判断出△ABD≌△CBO(SAS),进而得出S△ABD=S△CBO,AD=OC,即可得出BM=BN,最后用角平分线的判定定理即可得出结论;
②根据含30度角的直角三角形的性质求出线段的长,进而求出点C坐标,求出直线A'C的解析式,即可得出结论.
解:(1)∵点(k+1,2k﹣5)关于x轴的对称点在第一象限,
∴点(k+1,2k﹣5)在第四象限,
∴k+1>0,2k﹣5<0,
∴﹣1<k<2.5,
∵a为实数k的范围内的最大整数,
∴a=2,
∵A(a,0),
∴A(2,0),
∴OA=2,
∵B(0,2),
∴OB=2,
∴S△AOB=OAOB=×=2;
(2)如图1,
∵点P是第一象限内的点,且△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形,
∴①当∠BAP=90°时,AB=AP,
过点P作PF⊥OA于F,
∴∠PAF+∠APF=90°,
∵∠BAP=90°,
∴∠PAF+∠BAO=90°,
∴∠APF=∠BAO,
∵AB=AP,
∴△OAB≌△FPA(AAS),
∴PF=OA=2,AF=OB=2,
∴OF=OA+AF=2+2,
∴P(
②当∠ABP=90°时,同①的方法得,P'(2,2+2),
即:P点坐标为(2+2,2)或(2,2+2);
(3)①如图2,
∵△OBD和△ABC都是等边三角形,
∴BD=OB,AB=BC,∠OBD=∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠CBO,
在△ABD和△CBO中,,
∴△ABD≌△CBO(SAS),
∴S△ABD=S△CBO,AD=OC,
过点B作BM⊥AD于M,BN⊥OC于N,
∴BM=BN,
∵BM⊥AD,BN⊥OC,
∴BE是∠CED的角平分线;
②如图3,
作点A关于y轴的对称点A',
∵A(2,0),
∴A'(﹣2,0),
连接A'C交y轴于M,
过点C作CH⊥OA于H,
在Rt△AOB中,OA=2,OB=2,
∴AB=4,tan∠OAB===,
∴∠OAB=60°,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=4,∠BAC=60°,
∴∠CAH=60°,
在Rt△ACH中,∠ACH=90°﹣∠CAH=30°,
∴AH=2,CH=2,
∴OH=OA+AH=4,
∴点C(4,2),
∵A'(﹣2,0),
∴直线A'C的解析式为y=x+,
∴M(0,).
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【题目】一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物,如图1,蚂蚁从圆心出发,按图中箭头所示的方向,依次匀速爬完下列三条线路:线段、半圆弧、线段后,回到出发点,蚂蚁离出发点的距离(蚂蚁所在位置与点之间线段的长度)与时间之间的图像如图2所示.
请直接写出:花坛的半径是____ 米,蚂蚁爬行的速度为____ 米/分;
计算图中的值;
若沿途只有一处有食物,蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了分钟,并知蚂蚁在吃食物的前后,始终保持爬行且爬行速度不变,请你求出:
①蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离;
②蚂蚁返回点的时间.(注: 圆周率的值取)
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【题目】现有若干本书分给班上的同学,若每人分5本,则还缺20本;若每人分4本,则剩余25本.班上共有多少名同学?多少本书?
(1)设班上共有x名同学,根据题意列方程;
(2)设共有y本书,根据题意列方程;
(3)选择上面的一种设未知数的方法,解决问题.
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【题目】如图,已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线,AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,试求:
(1)AD的长度;
(2)△ACE和△ABE的周长的差.
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【题目】A,B两地被大山阻隔,若要从A地到B地,只能沿着如图所示的公路先从A地到C地,再由C地到B地.现计划开凿隧道A,B两地直线贯通,经测量得:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=20km,求隧道开通后与隧道开通前相比,从A地到B地的路程将缩短多少?(结果精确到0.1km,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= (m≠0)的图象有公共点A(1,a)、D(﹣2,﹣1).直线l与x轴垂直于点N(3,0),与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象回答,x在什么范围内,一次函数的值大于反比例函数的值;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后,才能投放市场,现甲、乙两个工厂都想加工这批产品,已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天,而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的,公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元,乙工厂加工费用为每天 120 元.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?
(2)公司制定产品加工方案如下:可以由每个厂家单独完成,也可以由两个厂家合作完成.在加工过程中,公司派一名工程师每天到厂进行技术指导,并负担每天 15 元的午餐补助费, 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案,并说明理由.
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【题目】如图①,在中,,过上一点作交于点,以为顶点,为一边,作,另一边交于点.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)当点为中点时,的形状为 ;
(3)延长图①中的到点使连接得到图②,若判断四边形的形状,并说明理由.
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