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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,Aa0),B02

1)点(k+12k5)关于x轴的对称点在第一象限,a为实数k的范围内的最大整数,求A点的坐标及△AOB的面积;

2)在(1)的条件下如图1,点P是第一象限内的点,且△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形,请直接写出P点坐标;

3)在(1)的条件下,如图2,以ABOB的作等边△ABC和等边△OBD,连接ADOC交于E点,连接BE

求证:EB平分∠CED

M点是y轴上一动点,求AM+CM最小时点M的坐标.

【答案】(1)A20),SAOB2;(2P点坐标为(2+22)或(22+2);(3)①详见解析;②M0).

【解析】

1)根据点在第四象限内,得出不等式,进而求出k的范围,进而求出点A坐标,最后用三角形面积公式即可得出结论;

2)分两种情况:构造全等三角形求出PFAF,即可求出点P坐标;

3)①先判断出△ABD≌△CBOSAS),进而得出SABDSCBOADOC,即可得出BMBN,最后用角平分线的判定定理即可得出结论;

②根据含30度角的直角三角形的性质求出线段的长,进而求出点C坐标,求出直线A'C的解析式,即可得出结论.

解:(1)∵点(k+12k5)关于x轴的对称点在第一象限,

∴点(k+12k5)在第四象限,

k+102k50

∴﹣1k2.5

a为实数k的范围内的最大整数,

a2

Aa0),

A20),

OA2

B02),

OB2

SAOBOAOB×2

2)如图1

∵点P是第一象限内的点,且△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形,

∴①当∠BAP90°时,ABAP

过点PPFOAF

∴∠PAF+∠APF90°,

∵∠BAP90°,

∴∠PAF+∠BAO90°,

∴∠APF=∠BAO

ABAP

∴△OAB≌△FPAAAS),

PFOA2AFOB2

OFOA+AF2+2

P+22),

②当∠ABP90°时,同①的方法得,P'(22+2),

即:P点坐标为(2+22)或(22+2);

3)①如图2

∵△OBD和△ABC都是等边三角形,

BDOBABBC,∠OBD=∠ABC60°,

∴∠ABD=∠CBO

在△ABD和△CBO中,

∴△ABD≌△CBOSAS),

SABDSCBOADOC

过点BBMADMBNOCN

BMBN

BMADBNOC

BE是∠CED的角平分线;

②如图3

作点A关于y轴的对称点A',

A20),

A'(﹣20),

连接A'Cy轴于M

过点CCHOAH

RtAOB中,OA2OB2

AB4tanOAB

∴∠OAB60°,

∵△ABC是等边三角形,

ACAB4,∠BAC60°,

∴∠CAH60°,

RtACH中,∠ACH90°﹣∠CAH30°,

AH2CH2

OHOA+AH4

∴点C42),

A'(﹣20),

∴直线A'C的解析式为yx+

M0).

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