Question

已知点B是正△ACD内部一点，AB=3，BD=4，BC=5，求正△ACD面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：先根据等边三角形的性质得DA=DC，∠ADC=60°，则可把△DCB绕点D逆时针旋转60°得到△DAE，如图，根据旋转的性质得DE=DB=4，AE=CB=5，∠EDB=60°，于是可判断△DBE为等边三角形，所以BE=DB=4，∠DBE=60°，在△ABE中，由于AB²+BE²=AE²，根据勾股定理的逆定理得△ABE为直角三角形，则∠ABE=90°，于是得到∠ABD=∠ABE+∠DBE=150°，利用邻补角定义得到∠DBH=30°；作DH⊥AB于H，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BDH中，DH=

1

2

BD=2，BH=

3

DH=2

3

，则AH=3+2

3

，然后在Rt△ADH中，利用勾股定理计算出AD²=25+12

3

，再利用等边三角形的面积公式求解．

解答：解：∵△ACD为等边三角形，
∴DA=DC，∠ADC=60°，
∴把△DCB绕点D逆时针旋转60°得到△DAE，如图，连结BE，
∴DE=DB=4，AE=CB=5，∠EDB=60°，
∴△DBE为等边三角形，
∴BE=DB=4，∠DBE=60°，
在△ABE中，AB=3，BE=4，AE=5，
∵3²+4²=5²，
∴AB²+BE²=AE²，
∴△ABE为直角三角形，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=150°，
∴∠DBH=30°，
作DH⊥AB于H，如图，
在Rt△BDH中，DH=

1

2

BD=2，BH=

3

DH=2

3

，则AH=3+2

3

，
在Rt△ADH中，AD²=AH²+DH²=（3+2

3

）²+2²=25+12

3

，
∴正△ACD面积=

3

4

AD²=

3

4

（25+12

3

）=

25 3 +36

4

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．