【题目】如图,已知等边△ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)求FG的长;
(3)求tan∠FGD的值.
【答案】
(1)证明:连结OD,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠C=∠A=∠B=60°,
而OD=OB,
∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线
(2)解:∵OD∥AC,点O为AB的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴BD=CD=6.
在Rt△CDF中,∠C=60°,
∴∠CDF=30°,
∴CF= CD=3,
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9,
在Rt△AFG中,∵∠A=60°,
∴FG=AF×sinA=9× =
(3)解:过D作DH⊥AB于H.
∵FG⊥AB,DH⊥AB,
∴FG∥DH,
∴∠FGD=∠GDH.
在Rt△BDH中,∠B=60°,
∴∠BDH=30°,
∴BH= BD=3,DH= BH=3 .
在Rt△AFG中,∵∠AFG=30°,
∴AG= AF= ,
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣ ﹣3= ,
∴tan∠GDH= = = ,
∴tan∠FGD=tan∠GDH= .
【解析】(1)连结OD,根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,所以∠ODB=60°=∠C,于是可判断OD∥AC,又DF⊥AC,则OD⊥DF,根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线;(2)先证明OD为△ABC的中位线,得到BD=CD=6.在Rt△CDF中,由∠C=60°,得∠CDF=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得CF= CD=3,所以AF=AC﹣CF=9,然后在Rt△AFG中,根据正弦的定义计算FG的长;(3)过D作DH⊥AB于H,由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH,根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH.解Rt△BDH,得BH= BD=3,DH= BH=3 .解Rt△AFG,得AG= AF= ,则GH=AB﹣AG﹣BH= ,于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH= = ,则tan∠FGD可求.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°),还要掌握切线的判定定理(切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,一次函数y1=x﹣2的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C.已知tan∠BOC= ,点B的坐标为(m,n),求反比例函数的解析式.
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③6a﹣b+c<0;④a﹣am2>bm﹣b,且m﹣1≠0,其中正确的说法有( )
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.②④
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【题目】如图,在菱形ABCD中,E、F分别是AB和BC上的点,且BE=BF.
(1)求证:△ADE≌△CDF;
(2)若∠A=40°,∠DEF=65°,求∠DFC的度数.
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【题目】如图,图①是一块边长为1,周长记为P1的等边三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长为 的等边三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉的等边三角形纸板边长的 )后得到图 ③,④…,记第n块剪掉的等边三角形纸板的周长为Pn , 则Pn= .
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【题目】直线y=﹣ x﹣1与反比例函数 (x<0)的图象交于点A,与x轴相交于点B,过点B作x轴垂线交双曲线于点C,若AB=AC,则k的值为( )
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣6
D.﹣8
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【题目】如图,船A、B在东西方向的海岸线MN上,均收到已触礁搁浅的船P的求救信号,已知船P在船A的北偏东60°方向上,在船B的北偏西37°方向上,AP=30海里.
(1)尺规作图:过点P作AB所在直线的垂线,垂足为E(要求:保留作图痕迹,不写作法);
(2)求船P到海岸线MN的距离(即PE的长);
(3)若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断哪艘船先到达船P处.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【题目】一个不透明的袋子中有5个完全相同的小球,球上分别标着点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(0,-6),E(-2,3).从袋子中一次性随机摸出3个球,这3个球分别代表的点恰好能确定一条抛物线(对称轴平行于y轴)的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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