Question

12．如图，已知AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，交⊙O于点F，AC交⊙O于点E，BE交CD于点G．求证：FD²=CD•GD．

Answer 1

分析 连接AF，BF，由AB为⊙O的直径，得到∠AFB=90°，∠AEB=90°，由射影定理得到FD²=AD•BD，通过△ADC∽△BDG，得到AD•BD=CD•DG，等量代换即可得到结论．

解答 证明：连接AF，BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，∠AEB=90°，
∵CD⊥AB，
由射影定理得：FD²=AD•BD，
∵∠BEC=∠BDG=90°，∠EGC=∠BGD，
∴∠C=∠DBG，
∴△ADC∽△BDG，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{CD}{BD}$，
∴AD•BD=CD•DG，
∴FD²=CD•GD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，射影定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．