Question

2．如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B．
（1）求证：∠BDE=∠CEF；
（2）当∠A=60°时，求证：△DEF为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）利用外角的性质可得∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF，结合条件可证得结论；
（2）由条件可知∠B=∠C=60°，结合条件可证明△BDE≌△CEF，可证得DE=EF，则可证明△DEF为等边三角形．

解答 证明：
（1）∵∠DEC是△BDE的一个外角，
∴∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF；
（2）由（1）可知∠BDE=∠CEF，
∵AB=AC，∠A=60°
∴∠B=∠C=60°，
∴∠DEF=60°，
在△BDE和△CEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BD=CE}\\{∠BDE=∠CEF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△CEF（ASA），
∴DE=EF，
∴△DEF为等边三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．