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【题目】如图,在ABC中,AB=ACDBC上任意一点,过D分别向ABAC引垂线,垂足分别为EF点.

1)当点DBC的什么位置时,DE=DF?并证明.

2)在满足第一问的条件下,连接AD,此时图中共有几对全等三角形?并请给予写出(不 必证明).

3)过C点作AB边上的高CG,请问DEDFCG的长之间存在怎样的等量关系?并加以证明.

【答案】(1)当点D在BC的中点上时,DE=DF,证明见解析;(2)有3对全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD;(3)CG=DE+DF,证明见解析.

【解析】试题分析:(1)因为当△BED和△CFD,DE=DF,所以当点DBC中点时,可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性质可得DE=DF,

(2)(1)的结论下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定ADB≌△ADC,

利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定BED≌△CFD,所以有3对全等三角形.

(3)连接AD,根据三角形的面积公式即可求证.

1)当点DBC的中点上时,DE=DF,

证明:DBC中点,

BD=CD,

AB=AC,

∴∠B=C,

DEAB,DFAC,

∴∠DEB=DFC=90°,

∵在BEDCFD,

∴△BED≌△CFDAAS,

DE=DF

2

3对全等三角形,有△BED≌△CFD,ADB≌△ADC,AED≌△AFD,

3CG=DE+DF,

证明:连接AD,

因为,

所以,

因为AB=AC,

所以.

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A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

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(3)深入探究:Ⅰ.如图③,当动点D在等边ABCBA上运动时(DB不重合),连接DC,以DC为边在BC上方和下方分别作等边DCF和等边DCF′,连接AF,BF′,探究AF,BF′AB有何数量关系?并证明你的探究的结论;Ⅱ.如图④,当动点D在等边ABC的边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.

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