Question

17．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A₁；AD的中点E的对应点记为E₁，若△E₁FA₁∽△E₁BF，求AD的长．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，然后求出BE₁，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E₁F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．

解答 解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=12，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A₁，点E的对应点为E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{BC}$，
即$\frac{2x}{12}=\frac{DF}{9}$，
解得DF=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△DE₁F中，E₁F=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x，
又∵BE₁=AB-AE₁=5-3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，
∴$\frac{{E}_{1}F}{{A}_{1}{E}_{1}}$=$\frac{B{E}_{1}}{{E}_{1}F}$，
∴E₁F²=A₁E₁•BE₁，
即（$\frac{\sqrt{13}}{2}$x）²=x（15-3x），
解得x=$\frac{12}{5}$，
∴AD的长为2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．