Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长
线交AB于H．
（1）求证：△CAG∽△ABC；
（2）求S_△AGH：S_△ABC的值．

Answer 1

分析 （1）证明：CG交AB于D，如图，设GD=a，根据重心的性质得CG=2DG=2a，根据重心的定义得CD为AB边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=3a，则∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根据相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC；
（2）由点G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG=$\frac{1}{3}$CH，求得S_△AHG=$\frac{1}{3}$S_△ACH，根据CH为AB边上的中线，于是得到S_△ACH=$\frac{1}{2}$S_△ABC，推出S_△AHG=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$S_△ABC，即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，设GH=a，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG=2a，CH为AB边上的中线，
∴CH=AH=BH=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC；

（2）∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG，
∴HG=$\frac{1}{3}$CH，
∴S_△AHG=$\frac{1}{3}$S_△ACH，
∵CH为AB边上的中线，
∴S_△ACH=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△AHG=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△AGH：S_△ABC=1：6．

点评 本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查相似三角形的判定与性质．