Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴的正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点C在直线AB上，OC=OA，且OA、OB的长（OB＞OA）是方程x²-15x+50=0的根．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）点Q是平面内任一点在直线OC上是否存在一点P使得以A，C，P，Q　为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由方程x²-15x+50=0求得x₁=5，x₂=10，得到A（5，0），B（0，10），利用待定系数法求得直线AB的解析式为：y=-2x+10；
（2）过点C作CD⊥OA于D，构造直角三角形，由勾股定理求得点的坐标；
（3）根据四边形ACPQ为菱形，得到AC=CP，分类讨论：当点P在直线AB的上方，根据平行线分线段成比例，列出比例式求得点P的坐标．

解答 解：（1）解方程x²-15x+50=0得x₁=5，x₂=10，
∵OB＞OA，∴OA=5，OB=10，
∴A（5，0），B（0，10），
设直线AB的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{10=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为：y=-2x+10；

（2）如图过点C作CD⊥OA于D，
∵OA=OC=5，设C（m，-2m+10），
在R_t△OCD中，5²=m²+（-2m+10）²，
∴m₁=3，m₂=5（舍去），
∴m=3，
∴C（3，4）；

（3）存在；如图2，过C作CD⊥OA于D，过P作PG⊥OA于G，
∴CD∥PQ，
当点P在直线AB的上方，
∵四边形ACPQ为菱形，
∴AC=CP，
由勾股定理求得AC=2$\sqrt{5}$，
∴PC=2$\sqrt{5}$，
∴OP=5+2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{CD}{PG}$=$\frac{OD}{OG}$=$\frac{OC}{OP}$，
∴PG=$\frac{20+8\sqrt{5}}{5}$，OG=$\frac{15+6\sqrt{5}}{5}$，
∴P（$\frac{15+6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{5}}{5}$），
当点P在直线AB的下方，
同法求得P（$\frac{15-6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{5}}{5}$），
以AC作为菱形的对角线，则点P是AC的垂直平分线与OC的交点，∵C（3，4），∴CO=5，∴OC=OA，∴P的坐标为（0，0），
当P（0.6，0.8）时，以A，C，P，Q　为顶点的四边形为菱形，
综上所述，P（$\frac{15+6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{5}}{5}$）或（$\frac{15-6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{5}}{5}$）或（0，0）或（0.6，0.8）．

点评 本题考查了解一元二次方程，待定系数法求一次函数的解析式，用勾股定理求点的坐标，菱形的性质，根据P点的不同位置进行分类求解．