Question

【题目】如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（　　）个．

①△BED是等边三角形；②AE∥BC； ③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据旋转的性质得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判断△BDE为等边三角形，则有DE=BD，所以△AED的周长=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC =60°得①②③正确；根据三角形内角和定理得∠ADE=∠ABE，结合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正确.

∵在等边△ABC中，△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°
∴△BDE为等边三角形，∠ABC=∠BAE=60°
∴DE=BD，AE∥BC；
∴△AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC

故①②③正确

∵△ABC，△BDE为等边三角形，

∴∠BED=∠BAC=60°

又∵对顶角相等

∴∠ADE=∠ABE

∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°

∴∠ADE＝∠DBC．

故④正确

故选：D