Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C的⊙O的切线交OB延长线于点A，C连接CD、BD，若∠CDB=∠OBD=30°，OB=6cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）首先连接OC，交BD于E，由∠CDB=∠OBD=30°，根据圆周角定理，可求得∠BOC=60°，即可得OC⊥BD，又由过点C的⊙O的切线交OB延长线于点A，即可证得AC∥BD；
（2）易证得△CDE≌△OEB（ASA），则可得S_阴影=S_扇形COB=

60×π×62

360

=6π．

解答：（1）证明：连接OC，交BD于E，
∵∠CDB=∠OBD=30°，
∴∠COB=60°
∴∠OEB=90°．
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OCA=90°，
∴∠OCA=∠OEB．
∴AC∥BD；

（2）∵∠OEB=90°，
∴DE=BE，
又∵∠CDB=∠OBD=30°，∠CED=90°，
在△CDE和△OEB中，

∠CDE=∠OBE DE=BE ∠CED=∠OEB

，
∴△CDE≌△OEB（ASA），
∴S_阴影=S_扇形COB=

60×π×62

360

=6π．

点评：此题考查了切线的性质、扇形的面积以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．