Question

如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=4，PB=2

3

，PC=2．求：
（1）∠BPC，∠APB的度数；
（2）S_△ABC．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：（1）作BH⊥PC于H，如图，根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=60°，于是可把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，根据旋转的性质得CD=AP=4，BD=BP=2

3

，∠PBD=60°，则可判断△PBD为等边三角形，所以PD=PB=2

3

，∠BPD=60°，然后利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，则CH=5；在Rt△BCH中，根据勾股定理计算出BC²=28，则AB²=28，在△ABP中再次利用勾股定理的逆定理可证明△APB为直角三角形，得到∠APB=90°；
（2）根据等边三角形的面积公式求解．

解答：解：（1）作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD=AP=4，BD=BP=2

3

，∠PBD=60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD=PB=2

3

，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=2

3

，CD=4，
∴PC²+PD²=CD²，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=2

3

，
∴BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC²=BH²+CH²=（

3

）²+5²=28，
∴AB²=28，
在△ABP中，∵PB²=（2

3

）²=12，AP²=4²=16，BC²=28，
∴AB²=PA²+PB²，
∴△APB为直角三角形，∠APB=90°，
即∠BPC，∠APB的度数分别为150°，90°；
（2）S_△ABC=

3

4

BC²=

3

4

×28=7

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．