Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，

（1）当∠EAD=90°时，AF=________________．

（2）在E的整个运动过程中，AF的最大值是________________．

Answer 1

【答案】或5 ；

【解析】

（1）当∠EAD=90°时，分两种情况：①如图：当点E在BA的延长线上和当点E在点A下方，即A于AB的交点就是点E时.根据旋转后大小不变和正方形边长相等，可以证明三角形全等，进而得出对应边相等，再根据勾股定理可得斜边AF的长；

（2）先构造出全等三角形，判断出点F在AC的延长线上时，AF最大值，进而确定出点E的位置，再判断出AF最大时，点C在AF上，根据正方形的性质求出AC，从而得出AF的最大值．

解：（1）∠EAD=90°时，

①如图：当点E在BA的延长线上时，

∵DE=DF DA=DC，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF

∴AE=CF=1 BF=BC-CF=2

∴在Rt△ABF中，AF= ==；

②如图：当点E在点A下方，即A于AB的交点就是点E时：

方法同①可得Rt△ADE≌Rt△CDF，AE=CF=1

∴BF=BC+CF=4

∴在Rt△ABF中，AF= ==5.

故答案为：或5 ；

（2）解：如图1，

连接AE，CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
由旋转知，DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴CF=AE=1，
∴点F的轨迹是以点C为圆心，半径为1圆，
∴点F在AC的延长线上时，AF最大；
如图，过点A作∠EAB=45°交⊙A于点E，此时旋转后AF最大，过点E作EG⊥AD交DA延长线于G，

在Rt△AEG中，AE=1，∠GAE=∠EAB=45°，
∴EG=AG=，
∵∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF=AE=1，∠DCF=∠DAE=∠BAD+∠EAB=90°+45°=135°，
∴点C在线段AF上，
∴AF=AC+CF，
∵AC是边长为3的正方形的对角线，
∴AC=3，
∴AF=3+1，
即：AF的最大值是3+1，

故答案为：3+1.