Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．

（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为 ．

（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；
（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．
①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标 ；
②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
（1）（3，0）
（2）

解：联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，

得：ax2+（b﹣a）x﹣b=0，

∴（ax+b）（x﹣1）=0，

解得：x=﹣，x=1，

∴A（1，a+b），B（﹣，0）．

点A、点B的位置如图所示；

（3）点D的坐标为（2，0）．点F的坐标为（1，0）；0＜b≤或 ．
【解析】（1）根据点A、B求出直线解析式，得到a、b值，即可写出点C坐标；
（2）联立直线与抛物线解析式，即可求出点A（1，a+b），B（﹣ ， 0），根据图象描出两点即可；
（3）求出点D坐标，根据点F、C、E坐标及平行四边形性质，即可求出特征点C的坐标，根据已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣ ， 0），由CEDF平行四边形性质可以得出b关于a的函数关系式，利用已知＜tan∠ODE＜2求出a的取值范围，进而求出b的取值范围；