【题目】如图,已知二次函数的图象与轴交于点,,与轴交于点,连接,,为线段上一点,于点,轴交抛物线于点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)①当为等腰三角形时,求点的坐标;
②求的最大值;
(3)直接写出当面积最大时,点的坐标.
【答案】(1);(2)①点的坐标为或;②;(3)
【解析】
(1)已知抛物线上点的坐标,用待定系数法即可得出抛物线解析式.
(2)①已知B、C点坐标,求出BC,根据等腰三角形性质,当时,即可求出点P坐标;当时,过点作.设,则,根据勾股定理求出t,即可求出P点坐标.
②已知抛物线解析式,可求得A点坐标,根据勾股定理可验证是直角三角形.设点的坐标为,则,由,可将PM和PN用t表示出来,是关于t的二次函数,根据二次函数性质可求出最大值.
(3)过点作轴于点,点的坐标为,
证明△AMP∽△ACB,,得出,,得出关于t的一元二次方程,根据函数性质,得出当t=3时,面积有最大值,再求出P点坐标.
解:(1)二次函数的图象与轴交于点,,与轴交于点,
∴
解得
∴抛物线的解析式为.
故答案为:
(2)①∵,,
∴.
当时,.
∴点的坐标为;
当时,如图①,过点作.设,则.
∴.解得.
此时点的坐标为.
综上,当为等腰三角形时,点的坐标为或.
②令,则.
解得,.
∴点的坐标为.
∴,.又,
∴是直角三角形.
∵,
∴.
设点的坐标为,则,
∴,.
∴.
∴的最大值为.
故答案为:或;
(3)如图②,过点作轴于点,点的坐标为,
∵PM∥BCM,∠APM=∠ABC
∴ △AMP∽△ACB
∴
∴
∴.
∵∴当时,的最大面积是5.
∴点的坐标为.
故答案为:P
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【题目】如图,在不是菱形的平行四边形中,在对角线上,在以下三个条件中再选一个,①分别是的中线,②分别是的角平分线,③.使得四边形是平行四边形,并说明理由.
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【题目】2018年9月9日兰州市秦王川国家湿地公园在万众瞩目中盛大开园,公园被分为六大板块,分别为:亲水运动公园、西北戴维营、私人农场区、湿地生态培育区、丝路古镇、湿地科普活动区(分别记为A,B,C,D,E,F),为了了解游客“最喜欢板块”的情况,随机对部分游客进行问卷调查,规定每个人从这六个板块中选择一个,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息回答下列问题:
(1)这次调查的样本容量是 ,a= ;
(2)扇形统计图中“C”对应的圆心角为 ;
(3)补全条形统计图;
(4)若2019年预计有100000人进园游玩,请估计最喜欢板块为“B”的游客人数.
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【题目】如图,是半径为4的的内接三角形,连接,点分别是的中点.
(1)试判断四边形的形状,并说明理由;
(2)填空:①若,当时,四边形的面积是__________;②若,当的度数为__________时,四边形是正方形.
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【题目】抛物线(,,为常数,且)经过点和,且,当时,随着的增大而减小.下列结论:①;②若点,点都在抛物线上,则;③;④若,则.其中结论正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,BC是⊙O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE平分AC于E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AD∶DB=3∶2,AC=15,求⊙O的直径;
(3)在(2)的条件下,求的值;
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【题目】如图,AB是⊙O直径,CD为⊙O的切线,C为切点,过A作CD的垂线,垂足为D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若⊙O半径为5,CD=4,求AD的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点A,它的顶点为点B.
(1)点A的坐标为______,点B的坐标为______(用m表示);
(2)已知点M(-6,4),点N(3,4),若抛物线与线段MN恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.
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【题目】如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
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