Question

【题目】已知在中，，，，交线段于点．

（1）如图1，当时，求证：；

（2）当时．

①如图2，猜想线段、之间的数量关系，并证明你的猜想；

②如图3，点时边的中点，连接，与交于点，求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①，证明详见解析；②6

【解析】

（1）如图1，易证△DEB∽△CEA，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题；

（2）①过点B作BH⊥DC于H，如图2．根据等腰三角形的性质可得∠D=∠BCD=30°，DH=CH，从而可得BH=AC，∠BHE=∠ACE，进而可得△BHE≌△ACE，则有HE=CE，即可证到DE=3EC；

②延长DF到点N，使得FN=DF，连接NB、NC，如图3，易证四边形DCNB是平行四边形，从而可得DC∥BN，DC=BN，即可得到△DGE∽△NGB，，从而可得．设，则有，，，，就可以得到的值.．

解：（1）如题1，

，，

，

，

，

，

．

，

；

（2）猜想：．

证明；过点作于，如图2．

又，，

，，

，．

在和中，

，

，

，

，

；

（3）延长DF到点，使得，连接、，如图3

，，

四边形是平行四边形，

，，

，，

．

设，则有，，

，

，

．