Question

【题目】如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线对折，得到．

（1）当平分时，求的长；

（2）连接，当，求的面积；

（3）当射线交于点时，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=ADtan∠DAM=即可；

（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；

（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．

解：（1）由折叠性质得：，

，

平分，，

，

四边形是矩形，

，

，

；

（2）延长交延长线于点，如图1所示：

四边形是矩形

，

，

由折叠性质得：，

，，，

，

，

设，则，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

解得：，

，，

，

；

（3）过点作于点，如图2所示：

四边形是矩形

，

，

，

，

，

，，

可以看到点是在以为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线与圆相切时，最大，此时、、三点共线，如图3所示

由折叠性质得：，

，

，

在和中，，

，

，

由勾股定理得：，

，

的最大值．