Question

【题目】有一根直尺短边长，长边长，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为．如图1，将直尺的短边与直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．将直尺沿射线方向平移，如图2，设平移的长度为，且满足，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为．

（1）当时， ；当时， ；当时， ．

（2）当时（如图3），请用含的代数式表示．

（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为？若存在求出此时的值．

Answer 1

【答案】（1）2，10，2；（2）S=；（3）存在，x=5cm

【解析】

（1）根据平移的距离分别求出AE、AD，再根据面积公式求出对应的答案即可；

（2）证明△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BE，过点C作CH⊥AB，利用面积相减的关系求出函数解析式；

（3）由（1）确定x>4cm，代入（2）的函数解析式求出方程解即可得到答案.

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∵∠DEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

同理：△ADG是等腰直角三角形，

∴AD=DG，

当x=0cm时，AE=EF=2cm，∴S=；

当时，AD=DG=4cm，AE=EF=4+2=6cm，∴S=；

当x=10cm时，AD=DG=10cm，AE=10+2=12cm，此时点E与点B重合，

∴S=；

故答案为：2,10,2；

（2）∵AD=DG=xcm，DE=2cm，

∴AE=(x+2)cm，

∴BE=（12-x-2）cm=（10-x）cm，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∵∠BEF=90°，

∴∠BFE=∠B=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE=（10-x）cm，

过点C作CH⊥AB，

∴CH=AB=6cm，

∴

=，

=；

（3）存在，

由（1）知：当时S=10，

∴当S=11时，x>4cm，

∴=11，

解得，

∴当x=5cm时，重叠部分面积为.