Question

阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如下图①，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，

∠CAD=30°,AD=2，BD=2DC，求AC的长.

      

①                            ②

第25题图

小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如上图②）.

请回答：∠ACE的度数为____,AC的长为____.

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如下图③，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.

③

第25题图

Answer 1

解：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.

过点D作DF⊥AC于点F，如下图.

第25题答图

∵ ∠BAC=90°，∴ AB∥DF，∴ △ABE∽△FDE.

∴ ∴ EF=1,AB=2DF.

∵ 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°,

∴ ∠ACD=75°，∴ AC=AD.∵ DF⊥AC,∴ ∠AFD=90°.

在△AFD中，AF=2+1=3,

∴ DF=AFtan 30°=