Question

10．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先证明△BCF是等边三角形，得出CF=BC=2，∠BCF=60°，求出CD，再证明四边形BCDE是矩形，即可求出面积．

解答 解：连接CF，如图所示：
∵DE是AC的中垂线，
∴AF=CF，∠CDE=90°，
∴∠ACF=∠A=30°，
∴∠CFB=∠A+∠ACF=60°，
∵AF=BF，
∴CF=BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴CF=BC=2，∠BCF=60°，
∴CD=CF•cos30°=$\sqrt{3}$，∠BCD=60°+30°=90°，
∵BE⊥DF，
∴∠E=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴四边形BCDE的面积=BC•CD=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
故选：A．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数以及等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和矩形是解决问题的关键．