Question

【题目】如图，二次函数y＝﹣x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

（1）b＝　 　，点B的坐标是　 　．

（2）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

（3）设点M在二次函数图象上，以M为圆心，半径为的圆与直线AC相切，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）﹣；（，0）；（2）∠CBA＝2∠CAB，理由详见解析；（3）点M坐标为（﹣6，﹣5）或（2，﹣1）

【解析】

（1）将点代入函数解析式即可得b的值；令解一元二次方程可得出点B坐标；

（2）如图1（见解析），作点B关于y轴的对称点，连接，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质可得，再根据二次函数的解析式求出点C坐标，然后根据点坐标可得，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得出答案；

（3）先求出点C坐标，从而得出直线AC的解析式，再根据圆的切线的性质得出MD长，从而可得的面积，然后分两种情况：点M在直线AC上方和点M在直线AC下方，分别根据的面积列出等式，求解即可得．

（1）∵二次函数的图象经过点

解得

则二次函数解析式为

令，解得

故答案为：；；

（2），理由如下：

如图1，作点B关于y轴的对称点，连接，则

当时，

又

；

（3）连接，过点M作轴，交AC于点E，设圆M与直线AC相切于点D

∴直线AC解析式为，

设点，则

①如图2，当点M在直线AC上方时，

整理得

此方程的根的判别式，方程无实数根

②如图3和图4，当点M在直线AC下方时，或

整理得

解得或

当时，，则点M坐标为

当时，，则点M坐标为

综上，点M坐标为或．