Question

如图，在梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB∥CD；AB=BC=3cm，CD=4cm，有一动点P从A点出发沿A→B→C→D移动，P点在AB边和BC边上移动的速度为1cm/s，在CD边上移动时速度为2cm/s；若运动时间为t（s），运动过程中△PBD的面积为3cm²，求t的值．

Answer 1

考点：梯形

专题：动点型

分析：分三种情况讨论列出关于△PBD的面积的含有t的方程，解方程即可求得．

解答：解：如图1，作PE⊥BD于E，
∵AB=BC=3cm，CD=4cm，
∴BD=

BC2+DC2

=5cm，
当P在AB上时，PB=3-t，
设P到BD的距离是xcm，
∵AB∥CD，
∴∠PBE=∠BDC，
∵∠PEB=∠C=90°，
∴△PEB∽DCB，

PB

BD

=

x

BC

，
∴x=

3(3-t)

5

，
∴

1

2

×5×

3(3-t)

5

=3，
∴t=1；
如图2，当P在BC上时BP=t-3，
∵∠PBE=∠DBC，∠PEB=∠C，
∴△PBE∽△DBC，
∴

BP

PE

=

BD

DC

，
∴

BP

x

=

5

4

，
∴x=

4(t-3)

5

，
∴

1

2

×5×

4(t-3)

5

=3，
∴t=4.5；
如图3，当p在DC上时PD=10-2t，
∵∠PDE=∠BDC，∠PED=∠C=90°，
∴△PED∽△BCD，
∴

PD

BD

=

PE

BC

，
即

10-2t

5

=

x

3

，
∴x=

3(10-2t)

5

，
∴

1

2

×5×

3(10-2t)

5

=3，
∴t=4；
综上所述，当t的值为1  或4.5或4时△PBD的面积为3

点评：本题考查了梯形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积公式的应用，数形结合是本题的关键．