【题目】 (1)如图1,等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,点H在BC边上,连AH,作等腰Rt△HFA,∠HFA=90°求证:AF=CF.
(2)如图2,等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,D在BC上,AD⊥AE,AD=AE,G为CD中点,求证:AG⊥BE
(3)如图3,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,过C作CD∥AB, CD=8,连AD,在AD上取一点E使AE=AB,连BE交AC于F,若AF=9,则AD= .
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)17.
【解析】
(1)以AH为直径作圆O,与BC交于点E,可得∠AEC=90°,由等腰三角形三线合一可知AE为BC边上的中线,所以EA=EC,再由圆周角定理推出∠AEF=∠AHF=45°=∠CEF,再次由等腰三角形三线合一可知EF垂直平分AC,即可得证;
(2)延长AG到N,使GN=AG,连接CN,易证△AGD≌△NGC,然后推出∠ACN=∠BAE,再证明△ACN≌△BAE,得到∠CAN=∠ABE,即可得出结论;
(3)延长BE,CD交于G,易得DG=DE,设CF=a,则AC=AB=AE=AF+CF=9+a,由相似三角形对应边成比例,用a表示出CG,DE,AD,然后用勾股定理建立方程求解.
证明:(1)如图所示,以AH为直径作圆O,与BC交于点E,
∴∠AEC=90°,即AE⊥BC,
∵AB=AC
∴AE为BC边上的中线,
∴EA=EC
由∵∠AEF=∠AHF=45°
∴∠CEF=90°-45°=45°
∴∠AEF=∠CEF
由等腰三角形三线合一可得EF垂直平分AC,
∴AF=CF
(2)延长AG到N,使GN=AG,连接CN,
∵G为CD中点,
∴CG=DG,
在△AGD和△NGC中,
∴△AGD≌△NGC(SAS)
∴∠DAG=∠N,AD=NC,∠ADG=∠NCG
∵AE=AD
∴AE=NC
∵∠EAC+∠CAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠EAC=∠BAD
∵∠ADG=∠BAD+∠ABD=∠BAD+45°
∴∠ACN=∠NCG+45°=∠BAD+90°
又∵∠BAE=∠EAC+90°
∴∠ACN=∠BAE
在△ACN和△BAE中,
∴△ACN≌△BAE(SAS)
∴∠CAN=∠ABE
又∵∠ABE+∠AMB=90°
∴∠CAN+∠AMB=90°
∴AG⊥BE
(3)如图,延长BE,CD交于G,
∵AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC=90°,∠G=∠ABE
又∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∵AEB=∠DEG
∴∠G=∠DEG
∴DG=DE
设CF=a,则AC=AB=AE=AF+CF=9+a
∵AB∥CD,
∴△ABF∽△CGF
∴,即
解得
∴DE=DG=CG-CD=
∴AD=AE+DE=
在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2
即
令,则原方程变形为
整理得,解得x=0或225
即或
舍去负根得
∴AD=
故答案为:17.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD与点E,连CD分别交AE、AB于点F、G,过点A作AH⊥CD交BD于点H,则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③△ADF≌△BAH;④ DF=2EH,其中正确结论的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】如图,两块完全相同的含30°的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°,有以下四个结论,①AF⊥BC;②∠BOE=135°;③O为BC中点;④AG:DE=1:3,其中正确结论的序号是( )
A.①②B.②④C.②③D.①③
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【题目】如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
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【题目】向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m﹣2)x﹣1=0提出了下列问题:
(1)是否存在m的值,使方程为一元二次方程?若存在,求出m的值,并解此方程;
(2)是否存在m的值,使方程为一元一次方程?若存在,求出m的值,并解此方程.
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【题目】如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( ).
A. 2 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 5 cm
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【题目】已知A是双曲线y=在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限,已知点C的位置始终在一函数图象上运动,则这个函数解析式为( )
A. y=﹣ B. y=﹣(x>0) C. y=﹣6x(x>0) D. y=6x(x>0)
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【题目】如图,A、B、C是直线l上的三个点,∠DAB=∠DBE=∠ECB=a,且BD=BE.
(1)求证:AC=AD+CE;
(2)若a=120°,点F在直线l的上方,△BEF为等边三角形,补全图形,请判断△ACF的形状,并说明理由.
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