【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+
x+
与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,连接CD,过点D作DH⊥x轴于点H,过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.
(1)求线段DE的长度;
(2)如图2,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点,求当△CPF的周长最小时,△MPF面积的最大值是多少;
(3)在(2)问的条件下,将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′,将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″,记在平移过称中,直线F′P′与x轴交于点K,则是否存在这样的点K,使得△F′F″K为等腰三角形?若存在求出OK的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)2 ;(2)
;(3)见解析.
【解析】分析:(1)根据解析式求得C的坐标,进而求得D的坐标,即可求得DH的长度,令y=0,求得A,B的坐标,然后证得△ACO∽△EAH,根据对应边成比例求得EH的长,进继而求得DE的长;
(2)找点C关于DE的对称点N(4,),找点C关于AE的对称点G(-2,-
),连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时,△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,根据点的坐标求得直线GN的解析式:y=
x-
;直线AE的解析式:y= -
x-
,过点M作y轴的平行线交FH于点Q,设点M(m,-
m+
m+
),则Q(m,
m-
),根据S△MFP=S△MQF+S△MQP,得出S△MFP= -
m+
m+
,根据解析式即可求得,△MPF面积的最大值;
(3)由(2)可知C(0,),F(0,
),P(2,
),求得CF=
,CP=
,进而得出△CFP为等边三角形,边长为
,翻折之后形成边长为
的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,然后分三种情况讨论求得即可.
本题解析:(1)对于抛物线y=﹣x2+
x+
,
令x=0,得y=,即C(0,
),D(2,
),
∴DH=,
令y=0,即﹣x2+
x+
=0,得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵AE⊥AC,EH⊥AH,
∴△ACO∽△EAH,
∴=
,即
=
,
解得:EH=,
则DE=2;
(2)找点C关于DE的对称点N(4,),找点C关于AE的对称点G(﹣2,﹣
),
连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时,△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,
直线GN的解析式:y=x﹣
;直线AE的解析式:y=﹣
x﹣
,
联立得:F (0,﹣),P(2,
),
过点M作y轴的平行线交FH于点Q,
设点M(m,﹣m2+
m+
),则Q(m,
m﹣
),(0<m<2);
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣
m2+
m+
,
∵对称轴为:直线m=<2,开口向下,
∴m=时,△MPF面积有最大值:
;
(3)由(2)可知C(0,),F(0,
),P(2,
),
∴CF=,CP=
=
,
∵OC=,OA=1,
∴∠OCA=30°,
∵FC=FG,
∴∠OCA=∠FGA=30°,
∴∠CFP=60°,
∴△CFP为等边三角形,边长为,
翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,
1)当K F′=KF″时,如图3,
点K在F′F″的垂直平分线上,所以K与B重合,坐标为(3,0),
∴OK=3;
2)当F′F″=F′K时,如图4,
∴F′F″=F′K=4,
∵FP的解析式为:y=x﹣
,
∴在平移过程中,F′K与x轴的夹角为30°,
∵∠OAF=30°,
∴F′K=F′A
∴AK=4
∴OK=4﹣1或者4
+1;
3)当F″F′=F″K时,如图5,
∵在平移过程中,F″F′始终与x轴夹角为60°,
∵∠OAF=30°,
∴∠AF′F″=90°,
∵F″F′=F″K=4,
∴AF″=8,
∴AK=12,
∴OK=11,
综上所述:OK=3,4﹣1,4
+1或者11.
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【题目】已知:如图,一次函数与
的图象相交于点
.
(1)求点的坐标.
(2)若一次函数与
的图象与
轴分别相交于点
、
,求
的面积.
(3)结合图象,直接写出时
的取值范围.
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【题目】甲、乙两车分别从A,B两地同时相向匀速行驶,当乙车到达A地后,继续保持原速向远离B的方向行驶,而甲车到达B地后立即掉头,并保持原速与乙车同向行驶,经过15小时后两车同时到达距A地300千米的C地(中途休息时间忽略不计).设两车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),y与x之间的函数关系如图所示,则当甲车到达B地时,乙车距A地_____千米.
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【题目】如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=10,AC=5,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以2厘米秒的速度沿射线AN包括点A)运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E运动_____秒时,△DEB与△BCA全等.
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【题目】如图,放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4,现做如下实验:抛掷一枚均匀的正四面体骰子(它有四个顶点,各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个),每个顶点朝上的机会是相同的,连续抛掷两次,将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标)第一次的点数作横坐标,第二次的点数作纵坐标).
(1)求P点落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的概率.
(2)将正方形ABCD平移整数个单位,则是否存在一种平移,使点P落在正方形ABCD
面上的概率为0.75;若存在,指出其中的一种平移方式;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=2.将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C.
(1)求作:△A′B′C;
(2)求点B旋转经过的路径长;
(3)求线段BB′的长;
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC.
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
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