如图.已知在Rt△ABC中.AB=BC.∠ABC=90°.BO⊥AC.垂足为O.点D为射线BC边上一动点.作BD的垂直平分线交射线AC于点P.F为垂足.过点D作DE⊥AC于点E.(1)如图.当点P落在在AO边上时.求证:①DE=OP,②AO=DE+OE,(2)当点P落在OC边上时.通过在图②中画出图形．猜想出线段AO.DE.OE之间的数量关系,(3)当点P落在OC边的延� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，垂足为O，点D为射线BC边上一动点，作BD的垂直平分线交射线AC于点P，F为垂足，过点D作DE⊥AC于点E，
（1）如图，当点P落在在AO边上时，求证：①DE=OP；②AO=DE+OE；
（2）当点P落在OC边上时，通过在图②中画出图形．猜想出线段AO，DE，OE之间的数量关系；（不必证明）
（3）当点P落在OC边的延长线上时，直接写出线段AO，DE，OE之间的数量关系．

分析（1）如图1，连接DH，根据等腰直角三角形的性质得到BO=AO，∠OBF=45°=∠A，推出PF∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠A═45°=∠2，求得PO=HO，根据线段垂直平分线的性质得到BH=DH，得到∠HDB=∠HBD=45°通过四边形OEDH是菱形，得到DE=OH=90°即可得到结论；
（2）如图2，根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ACB=45°，AO=CO，求得∠DCE=∠ACB=45°推出∠D=∠DCE，证得DE=CE，根据线段的和差即可得到结论；
（3）如图3，根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ACB=45°，AO=CO，求得∠DCE=∠ACB=45°推出∠D=∠DCE，证得DE=CE，根据线段的和差即可得到结论．

解答解：（1）如图1，连接DH，
∵AB=BC，BO⊥AC，∠ABC=45°，
∴BO=AO，∠OBF=45°=∠A，
∵⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠1=∠A═45°=∠2，
∴PO=HO，
∵PF垂直平分BD，
∴BH=DH，
∴∠HDB=∠HBD=45°，
∴∠BHD=90°=∠DHO，
∵∠HOE=∠OED=90°，
∴四边形OEDH是矩形，
∴DE=OH=90°，
∵AO=BO，OP=OH，
∴AO-OP=BO-OH
，即AP=BH=DH=OE，
∴AO=OP+AP=OE+DE；

（2）如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴∠A=∠ACB=45°，AO=CO，
∴∠DCE=∠ACB=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠D=45°，
∴∠D=∠DCE，
∴DE=CE，
∵OE=OC+CE，
∴OE=AO+DE；

（3）如图3，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴∠A=∠ACB=45°，AO=CO，
∴∠DCE=∠ACB=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠D=45°，
∴∠D=∠DCE，
∴DE=CE，
∵OE=OC+CE．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．

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（2）罗成先随机掷两枚骰子一次，点数和为8，求张烨要想随机掷两枚骰子一次，胜罗成的概率．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体，点数和：两枚骰子朝上的点数之和）．

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