Question

求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长，再由锐角三角函数的定义求出AD的长，进而得出其面积．

解答：解：如图所示：
∵半径为20的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=20，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB=

3

2

×20=10

3

，
∵BD=CD，
∴BC=2BD=20

3

，
∴AD=AB•sin60°=20

3

×

3

2

=30，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×20

3

×30=300

3

．
故它的内接正三角形的边长为20

3

，面积为300

3

．

点评：本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出∠OBD=30°是解题关键．