Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D在线段BC上，E是线段AD的一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．

（1）如图1，求证：AE＝BF；

（2）当A、E、F三点共线时，如图2，若BF＝2，求AF的长；

（3）如图3，若∠BAD＝15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE＝30°时，求△DEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF＝2；（3）S△EDF＝3﹣3．

【解析】

（1）如图1中，证明△ACE≌△BCF（SAS）即可解决问题；

（2）利用全等三角形的性质，证明∠ACD=∠DFB=90°，再利用勾股定理即可解决问题；

（3）如图3中，作FH⊥BC于H．证明△BCF是底角为30°的等腰三角形，求出CF，FB，FH，根据S△EDF=S△ECD+S△CDF-S△ECF计算即可．

（1）证明：如图1中，

∵△ACB，△ECF都是等腰三角形，

∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，

∴∠ACE＝∠BCF，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF．

（2）如图2中，

∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，

∴AB＝6，

∵△ACE≌△BCF，

∴∠CAD＝∠DBF，

∵∠ADC＝∠BDF，

∴∠ACD＝∠DFB＝90°，

∴AF＝＝＝2．

（3）如图3中，作FH⊥BC于H．

∵∠ACE＝∠CAE＝30°，

∴AE＝EC，

∵△ACE≌△BCF，

∴BF＝AE，CF＝CE，

∴CF＝BF，∠FCB＝∠CBF＝30°，

∵FC＝FB，FH⊥BC，

∴CH＝BH＝3，FH＝，CF＝BF＝2，

∵∠CED＝∠CAE+∠ACE＝60°，∠ECD＝90°﹣30°＝60°，

∴△ECD是等边三角形，

∴EC＝CF＝CD＝2，

∴S△EDF＝S△ECD+S△CDF﹣S△ECF＝×（2）2+×2×﹣×2×2＝3﹣3．