Question

在△ABC中，∠C=90，∠B=30°，ED是线段AB的中垂线，BD=2cm，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：分①点D在AB上时，求出AB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解；②点D在BC上时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再利用勾股定理列式计算求出BE，然后求出AB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．

解答：解：①点D在AB上时，如图1，
∵BD=2cm，ED是线段AB的中垂线，
∴AB=2BD=2×2=4cm，
∵∠C=90，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×4=2cm，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

42-22

=2

3

cm，
∴△ABC的周长=4+2

3

+2=（6+2

3

）cm；
②点D在BC上时，如图2，
∵BD=2cm，∠B=30°，ED是线段AB的中垂线，
∴DE=

1

2

BD=

1

2

×2=1cm，
由勾股定理得，BE=

BD2-DE2

=

22-12

=

3

cm，
∵ED是线段AB的中垂线，
∴AB=2BE=2

3

cm，
∵∠C=90，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

cm，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3cm，
∴△ABC的周长=2

3

+3+

3

=（3+3

3

）cm；
综上所述，△ABC的周长为（6+2

3

）cm或（3+3

3

）cm．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．