Question

【题目】已知：矩形ABCD，AB＝2，BC＝5，动点P从点B开始向点C运动，动点P速度为每秒1个单位，以AP为对称轴，把△ABP折叠，所得△AB'P与矩形ABCD重叠部分面积为y，运动时间为t秒．

（1）当运动到第几秒时点B'恰好落在AD上；

（2）求y关于t的关系式，以及t的取值范围；

（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的；

（4）连接PD，以PD为对称轴，将△PCD作轴对称变换，得到△PC'D，当t为何值时，点P、B'、C'在同一直线上？

Answer 1

【答案】（1）当运动到第2秒时点B′恰好落在AD上；（2）；（3）第4秒时，重叠部分面积都是矩形ABCD面积的；（4）当t为1秒或4秒时，点P，B′，C′在同一直线上．

【解析】

（1）点B′落在AD上时，四边形ABPB′为正方形，所以t＝2；

（2）分两种情况讨论：①当0≤t≤2时，如图2，重叠部分面积就是△APB′的面积，即△APB的面积；

②当2＜t≤5时，如图3，重叠部分面积就是△APE的面积，先根据勾股定理表示出AE的长，再利用面积公式求△APE的面积；

（3）分别将①和②中的y等于矩形ABCD面积的，求出对应的t值即可；

（4）点P，B′，C′在同一直线上时，△AB′P∽△PC′D，得，列一元二次方程，求出t的值即可．

解：（1）如图1，由折叠得：∠AB′P＝∠B＝90，AB＝AB′＝2，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAB′＝90，

∴四边形ABPB′为正方形，

∴BP＝AB＝2，

∵动点P速度为每秒1个单位，

∴t＝2，

即当运动到第2秒时点B′恰好落在AD上；

（2）分两种情况：①当0≤t≤2时，如图2，PB＝t，

由折叠得：S△AB′P＝S△ABP，

∴y＝S△ABP＝ABPB＝×2×t＝t，

②当2＜t≤5时，如图3，

由折叠得：∠APB＝∠APE，PB＝PB′＝t，

∵AD∥BC，

∴∠DAP＝∠APB，

∴∠DAP＝∠APE，

∴AE＝PE，

设AE＝x，则PE＝x，B′E＝t﹣x，

由勾股定理得：22+（t﹣x）2＝x2，

x＝，

∴，

综上所述：；

（3）①y＝t＝×2×5，

∴t＝2.5（舍），

②＝×2×5，

∴t1＝1（舍），t2＝4，

综上所述：在第4秒时，重叠部分面积都是矩形ABCD面积的；

（4）如图4，点P，B′，C′在同一直线上，

由折叠得：∠APB＝∠APB′，∠C′PD＝∠CPD，

∴∠APC′+∠C′PD＝×180°＝90°，

∵∠PAB′+∠APB′＝90°，

∴∠PAB′＝∠C′PD，

∵∠AB′P＝∠C′＝90°，

∴△AB′P∽△PC′D，

∴，

∴，

解得：t1＝1，t2＝4，如图5所示，

∴当t为1秒或4秒时，点P，B′，C′在同一直线上．