Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（　　）

（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）ABCD=；（4）∠ABE=∠DCE．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

设AD和半圆O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．

设AD和半圆O相切的切点为F，

∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，

∴

∵AB为直径，

∴AB，CD是圆的切线，

∵AD与以AB为直径的⊙O相切，

∴AB=AF，CD=DF，

∴AD=AF+DF=AB+CD，故①正确；

如图1，连接OE，

∵AE=DE，BO=CO，

∴OE∥AB∥CD,OE=(AB+CD)，

∴OE⊥BC，

故②正确；

如图2，连接AO，OD，

∵AB∥CD,

∴

∵AB，CD，AD是O的切线，

∴

∴

∴

∴∠BAO=∠DOC，

∴△ABO∽△OCD，

∴

∴，故③正确，

如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，

∴BE=CE，

∴∠BEO=∠CEO，

∵AB∥OE∥CD，

∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，

∴∠ABE=∠DCE，故④正确，

综上可知正确的个数有4个，

故选:D.