Question

【题目】已知抛物线交轴于点（0，0）和点，抛物线交轴于点（0，0）和点，抛物线交轴于点（0，0）和点…按此规律，抛物线交轴于点（0，0）和点（其中n为正整数），我们把抛物线称为系数为的“关于原点位似”的抛物线族．

（1）试求出的值；

（2）请用含n的代数式表示线段的长；

（3）探究下列问题：

①抛物线的顶点纵坐标与a、n有何数量关系？请说明理由；

②若系数为a的“关于原点位似”的抛物线族的各顶点坐标记为（T，S），请直接写出S和T所满足的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）2 （2） （3）①见解析 ②

【解析】

（1）根据抛物线C1：y1=a(x-1)2+k1（a≠0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点，进一步得到b1的值；

（2）由与（1）相同的方法可得bn=2n，则An-1An=bn-bn-1可求；

（3）①由（1）同样的方法可知，k3=-16a，k4=-64a，按此规律可知，kn与a、n的数量关系；

②根据抛物线族的顶点坐标S和T之间的关系即可求解．

解：（1）∵抛物线C1：y1=a（x﹣1）2+k1（a≠0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），

∴b1=2．

故答案为：2.

（2）由与（1）相同的方法可得b2=4，b3=8，b4=16，

按此规律可得bn=2n，

∴An﹣1An=bn﹣bn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1．

故答案为：2n﹣1

（3）①kn与a、n的数量关系为：kn=﹣4n﹣1a，

理由如下：由（1）将（0，0）代入y1=a（x﹣1）2+k1，可得k1=﹣a，

∵b1=2，

∴C2：y2=a（x﹣b1）2+k2可化为C2：y2=a（x﹣2）2+k2，

∵抛物线C2：y2=a（x﹣2）2+k2交x轴与点（0，0），

∴0=a（0﹣2）2+k2，

∴4a+k2=0，即k2=﹣4a．

用同样的方法可知，k3=﹣16a，k4=﹣64a，

按此规律可知，kn与a、n的数量关系为：kn=﹣4n﹣1a

故答案为：kn=﹣4n﹣1a.

②由上述可知：的顶点坐标为：

其中， ，

抛物线族的顶点坐标S和T所满足的函数关系式为：.

故答案为：.