Question

已知△ABC中，∠B=60°，∠A、∠C的平分线AD、CE交于点O．求证：
（1）OE=OD；
（2）DC+AE=AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据三角形的内角和定理，得出∠DAC+∠ECA=60°，在△OAC中，即可求出∠AOC=120°，根据对顶角相等即可求出∠DOE的度数，作辅助线在AC上截取AG=AE，可证出△AEO≌△AGO（SAS），即可得出∠AOE=∠AOG，EO=GO，再证出△DCO≌△GCO，即可得出OE=OD．
（2）由△DCO≌△GCO得出DC=GC，又根据AE=AG，即可求得AC=AG+GC=AE+DC，即DC+AE=AC．

解答：（1）证明：在AC上截取AG=AE，连接GO，
由三角形内角和定理，在△ABC中，
2∠DAC+2∠ECA+60°=180°，
解得：∠DAC+∠ECA=60°，
在△OAC中，∠AOC=180°-（∠DAC+∠ECA）=180°-60°=120°，
∴∠DOE=∠AOC=120°，
在△AEO和△AGO中，

AE=AG ∠EAO=∠GAO AO=AO

，
∴△AEO≌△AGO（SAS），
∴∠AOE=∠AOG，EO=GO，
由∠COG+∠GOA=120°，
又∵∠COG+2∠GOA=180°，
解得：∠COG=∠GOA=∠AOE=∠COD=60°，
在△DCO和△GCO中，

∠COD=∠COG OC=OC ∠DCO=∠GCO

，
∴△DCO≌△GCO（ASA），
∴DO=OG，
∴OE=OD．

（2）证明：∴△BEO≌△BGO，
∴DC=GC，
又∵AE=AG，
∴AC=AG+GC=AE+DC，
即DC+AE=AC．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及全等三角形的性质，难度适中．