Question

5．如图，在平面直角坐标系中，点A₁、A₂、A₃…和点B₁、B₂、B₃…分别在直线y=kx+b和x轴上，△OA₁B₁、△B₁A₂B₂、△B₂A₃B₃…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），那么A₃的坐标是（$\frac{29}{5}$，$\frac{9}{4}$），A₂₀₁₅的坐标是（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴）．

Answer 1

分析 先求出直线y=kx+b的解析式，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到A₃的坐标，进而得出各点的坐标的规律．

解答 解：∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）在直线y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$；
设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x=0时，y=$\frac{4}{5}$，
当y=0时，$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$=0，解得x=-4，
∴点M、N的坐标分别为M（0，$\frac{4}{5}$），N（-4，0），
∴tan∠MNO=$\frac{MO}{NO}$=$\frac{\frac{4}{5}}{4}$=$\frac{1}{5}$，
作A₁C₁⊥x轴与点C₁，A₂C₂⊥x轴与点C₂，A₃C₃⊥x轴与点C₃，
∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×$\frac{3}{2}$=2+3=5，
tan∠MNO=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{N{C}_{3}}$=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{4+5+{B}_{3}{C}_{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=$\frac{9}{4}$=（$\frac{3}{2}$）²，
∴A₃C₃=B₂C₃=$\frac{9}{4}$，
∴OC₃=5+$\frac{9}{4}$=$\frac{29}{4}$，
∴A₃（$\frac{29}{4}$，$\frac{9}{4}$），
同理可求，第四个等腰直角三角形A₄C₄=$\frac{27}{8}$=（$\frac{3}{2}$）³，
依此类推，点A_n的纵坐标是（$\frac{3}{2}$）^n-1．
∴A₂₀₁₅的坐标是（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴，
代入y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$得，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$，
解得x=5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，
∴A₂₀₁₅（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴），
故答案为：（$\frac{29}{4}$，$\frac{9}{4}$），（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．