Question

17．如图，AB是⊙O的直径，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，连接OC．图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积-△BOC的面积．

解答 解：如图，连接OC，
∵AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
又∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC是△ABC斜边上的中线，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{4}$×2×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形OBC-S_△BOC=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\sqrt{3}$=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$，
故答案是：$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算、圆周角定理．求图中阴影部分的面积时，采用了“分割法”，即把不规则阴影图形转化为规则图形，然后来计算其面积．