Question

【题目】如图，二次函数的图像与x轴交于点A(-1,0)、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）设上述抛物线的对称轴l与x轴交于点D，过点C作CE⊥l于E，P为线段DE上一点，Q(m，0)为x轴负半轴上一点，以P、Q、D为顶点的三角形与△CPE相似；

①当满足条件的点有且只有三个时，求的取值范围；

②若满足条件的点有且只有两个，直接写出的值.

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+2x+3；（2）且；（3）-1或-.

【解析】试题分析：（1）将二次函数解析式设为一般式，将三个点的坐标带入解析式，求出未知参数即可；（2）①设PD=x（0＜x＜3），则PE=3－x，以P、Q、D为顶点的三角形与△CPE相似一共有两种情况，△CPE∽△QPD以及△CPE∽△PQD，当△CPE∽△QPD时， ，即，由此可得一个关于x的一元一次方程，根据m的范围分析得出方程有解；当△CPE∽△PQD，则，即，整理可得一个关于x的一元二次方程，由于满足条件的点有且只有三个，故此一元二次方程必有两个不相等的实数根，即b2－4ac＞0，求出m的范围；此外还需考虑当1－m=x时，三解中有两解相同，将x=1－m代入，求出x，再求出对应的m不能取的数值；综上，写出m的范围；②由第①问直接写出m的取值即可.

试题解析：

解：（1）将A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：

，解得，

∴二次函数的表达式为y=－x2+2x+3；

（2）①抛物线对称轴为x=1，

设PD=x（0＜x＜3），则PE=3－x.

若△CPE∽△QPD，则，即，

整理得：（2－m）x=3－3m，

∵m＜0，∴x==3－≠0是方程的根；

若△CPE∽△PQD，则，即，

即x2－3x+1－m=0，

由题意得：b2－4ac＞0，即（－3）2－4（1－m）＞0，解得m＞－，

当1－m=x时，三解中有两解相同，将x=1－m代入，

解得x1=0（舍），x2=2，

代入得m=－1，故排除m=－1.

所以m的范围是－＜m＜0，且m≠－1.

②m的值为－1或－.