【题目】已知二次函数y=ax2的图象经过点(2,1).
(1)求二次函数y=ax2的解析式;
(2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(x1、y1)、B(x2、y2)两点.
①当m=时(图①),求证:△AOB为直角三角形;
②试判断当m≠时(图②),△AOB的形状,并证明; n>S扇形DOE求得即可.
(3)根据第2问,说出一条你能得到的结论.(不要求证明)
【答案】
(1)
【解答】(1)解:∵y=ax2过点(2,1),
∴1=4a,解得a=,
∴抛物线解析式为y=x2;
(2)
①证明:
当m=时,联立直线和抛物线解析式可得
,解得
或
,
∴A(﹣2,1),B(8,16),
分别过A、B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C、D,如图1,
∴AC=1,OC=2,OD=8,BD=16,
∴,且∠ACO=∠ODB,
∴△ACO∽△ODB,
∴∠AOC=∠OBD,
又∵∠OBD+∠BOD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,即∠AOB=90°,
∴△AOB为直角三角形;
②解:△AOB为直角三角形.
证明如下:
当m≠时,联立直线和抛物线解析式可得
,解得
或
,
∴A(2m﹣2,(m﹣
)2),B(2m+2
,(m+
)2),
分别过A、B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,如图2,
∴AC=(m﹣)2,OC=﹣(2m﹣2
),BD=(m+
)2,OD=2m+2
,
∴,且∠ACO=∠ODB,
∴△ACO∽△OBD,
∴∠AOC=∠OBD,
又∵∠OBD+∠BOD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,即∠AOB=90°,
∴△AOB为直角三角形;
(3)
解:由2可知,一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B,则△AOB恒为直角三角形.(答案不唯一).
【解析】(1)把点(2,1)代入可求得a的值,可求得抛物线的解析式;
(2)①可先求得A、B两点的坐标,过A、B两点作x轴的垂线,结合条件可证明△ACO∽△ODB,可证明∠AOB=90°,可判定△AOB为直角三角形;②可用m分别表示出A、B两点的坐标,过A、B两点作x轴的垂线,表示出AC、BD的长,可证明△ACO∽△ODB,结合条件可得到∠AOB=90°,可判定△AOB为直角三角形;
(3)结合(2)的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论.
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【题目】某次知识竞赛有20道必答题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分;3道抢答题,每一题抢答对得10分,抢答错扣20分,抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛,甲队必答题得了170分,乙队必答题只答错了1题.
(1)甲队必答题答对答错各多少题?
(2)抢答赛中,乙队抢答对了第1题,又抢到了第2题,但还没作答时,甲队啦啦队队员小黄说:“我们甲队输了!”小汪说:“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对.
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【题目】如图,点A(m,6)、B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5.
(1)求m、n的值并写出该反比例函数的解析式.
(2)点E在线段CD上,S△ABE=10,求点E的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线,交AB于点E,交CA的延长线于点F.
(1)求证:FE⊥AB;
(2)当EF=6,时,求DE的长.
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【题目】为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练,球从一个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传给其余两人的机会是均等的,由甲开始传球,共传球三次.
(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况;
(2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率;
(3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)①当AE= cm时,四边形CEDF是矩形;
②当AE= cm时,四边形CEDF是菱形.
(直接写出答案,不需要说明理由)
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【题目】如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC,分别交于M,H.
(1)求证:CF=CH;
(2)如图2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.
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【题目】
(1)(1)如图1是某个多面体的表面展开图.
①请你写出这个多面体的名称,并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点;
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块,恰好拼成一个矩形,那么△BMC应满足什么条件?(不必说理)
(2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块,恰好拼成一个三角形,如图2,那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少?为什么?(注:以上剪拼中所有接缝均忽略不计)
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【题目】尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,连当年叱咤风云的拿破仑也不例外,我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分,如图只需在⊙O上任取点A,从点A开始,以⊙O的半径为半径,在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分.下列可以只用圆规等分的是( ) ①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分.
A.②
B.①②
C.①②③
D.①②③④
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