Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是（0，10）；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x²（x＞0）的图象上，△BQP是等腰三角形且PQ=$\sqrt{10}$，求出点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点P作PH⊥OA于点H，由垂径定理可求出OA的长，进而可求出A的坐标；
（2）连接BP、OP，由已知条件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：PQ²=QH²+PH²=9+PH²，在Rt△PHO中，由勾股定理可得：PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，进而在Rt△BQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．所以BQ=4；
（3）作BM⊥y轴于点M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH=$\sqrt{6}$．所以可得：B₁（$\sqrt{6}$，6+$\sqrt{6}$），若点Q在OH上，再由抛物线对称性可得B₂（$\sqrt{6}$，2-$\sqrt{6}$）．

解答 解：（1）过点P作PH⊥OA于点H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴点A坐标是（0，10）．
故答案为：（0，10）．

（2）连接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ-OH=3．
在Rt△QHP中，PQ²=QH²+PH²=9+PH²，
在Rt△PHO中，PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，
在Rt△BQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．
∴BQ=4；

（3）△BQP是等腰直角三角形，PQ=$\sqrt{10}$，
∴半径BP=2$\sqrt{5}$．
又∵P（a，a²），
∴OP²=a²+a⁴=（2$\sqrt{5}$）²．
即a⁴+a²-20=0．
解得a=±2．
∵a＞0
∴a=2．
∴P（2，4）．
如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{H}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴B₁（$\sqrt{6}$，6+$\sqrt{6}$）．
若点Q在OH上，由对称性可得B₂（$\sqrt{6}$，2-$\sqrt{6}$）
综上，当PQ=$\sqrt{10}$时，B点坐标为（$\sqrt{6}$，6+$\sqrt{6}$）或（$\sqrt{6}$，2-$\sqrt{6}$）．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的运用，三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．