Question

【题目】（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．

①求证：DQ＝AE；

②推断：的值为　 　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②1；（2）＝k，见解析；（3）PC＝．

【解析】

(1)①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．所以∠QAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠QAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAQ，可得AE=DQ．
②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．
(2)结论：．如图2中，作GM⊥AB于M．证明△ABE∽△GMF即可解决问题．
(3)如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．

(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．

∴∠QAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DQ，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠QAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAQ(ASA)，

∴AE=DQ．

②结论：．

理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，

∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，

∴四边形DQFG是平行四边形，

∴FG=DQ，

∵AE=DQ，

∴FG=AE，

∴，

故答案为：1；

(2)结论：．

理由：如图2中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，

∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，

∴∠BAE=∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，

∴，

∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，

∴四边形AMGD是矩形，

∴GM=AD，

∴．

(3)如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．

∵FB∥GC，FE∥GP，

∴∠CGP=∠BFE，

∴tan∠CGP=tan∠BFE=，

∴假设BE=3m，BF=4m，EF=AF=5m，

∵，FG=2，

∴AE=3，

∴BE2+AB2=AE2，

∴(3m)2+(9m)2=(3)2，

∴m=1或﹣1(舍弃)，

∴BE=3，AB=9，

∵BC:AB=2:3，

∴BC=6，

∴BE=CE=3，AD=PE=BC=6，

∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，

∴∠FEB+∠PEM=90°，∠PEM+∠EPM=90°，

∴∠FEB=∠EPM，

∴△FBE∽△EMP，

∴，

∴，

∴EM=，PM=，

∴CM=EM﹣EC=﹣3=，

∴PC=．