Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（-1，0）、B（2，-3）并以直线x=1为对称轴．
（1）求此函数解析式；
（2）在对称轴上是否存在一点P，使PA=PB？若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把B点坐标代入求出a即可；
（2）设P（1，t），利用两点间的距离公式得到（1+1）²+t²=（1-2）²+（t+3）²，由于解得t=-1，则可判断存在一点P，使PA=PB，此时P点坐标为（1，-1）．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点A（-1，0）的对称点为（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把B（2，-3）代入得a•（2+1）（2-3）=-3，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）存在．
设P（1，t），
∵PA=PB，
∴（1+1）²+t²=（1-2）²+（t+3）²，解得t=-1，
∴满足条件的P点坐标为（1，-1）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．