Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）过点A作AD⊥PC于点D，求证：PB+PD=CD．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在线段CD上截取DP′=DP，由全等三角形的判定定理可得出△AP′C≌△APB，由此可得出结论．

解答：（1）解：△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是

BC

所对的圆周角，∠ABC与∠APC是

AC

所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；

（2）证明：在线段CD上截取DP′=DP，
∵∠APC=60°，AD是PP′的垂直平分线，
∴AP=AP′，
∴△APP′是等边三角形，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠P′AC．
在△AP′C与△APB中，
∵

AC=AB ∠P′AC=∠PAB AP′=AP

，
∴△AP′C≌△APB，
∴PB=CP′，
∴PB+PD=CP′+CP′=CD．

点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．