Question

20．已知：如图，在Rt△ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，满足PB=PD，∠PBO=25°．
（1）如图1，求∠DPC的度数；
（2）如图2，过点D作AC的垂线段DE，求证：DE=PO．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PM⊥BC于M交BO于N．由∠BNM=∠CPM=45°，推出∠BPN+∠NBP=∠NPD+∠CPD，由PB=PD，PM⊥BD，推出∠NPB=∠NPD，由此推出∠DPC=∠OBP．
（2）欲证明DE=PO，只要证明△PBO≌△DPE即可．

解答 （1）解：如图1中，作PM⊥BC于M交BO于N．

∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠A=45°，∵PM⊥BC，
∴∠PMC=∠NMB=90°，
∴∠C=∠CPM=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠CBO=∠ABO=45°，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠BNM=∠CPM，
∴∠BPN+∠NBP=∠NPD+∠CPD，
∵PB=PD，PM⊥BD，
∴∠NPB=∠NPD，
∴∠DPC=∠PBO=25°．

（2）证明：如图2中，

由（1）可知∠DPE=∠PBO，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△PBO和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠DEP}\\{∠OBP=∠DPE}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△DPE，
∴PO=DE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．