[题目]如图.已知一次函数y=ax+b(a.b为常数.a≠0)的图象与x轴.y轴分别交于点A.B.且与反比例函数(k为常数.k≠0)的图象在第二象限内交于点C.作CD⊥x轴于D.若OA=OD=OB=3．(1)求一次函数与反比例函数的解析式,(2)观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集,(3)在y轴上是否存在点P.使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形?如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由

【答案】（1）；（2）-3≤x＜0；（3）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）

【解析】

（1）根据平行线分线段成比例性质可得，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-x+4≤-；（3）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况.

解：（1）∵CD⊥OA，

∴DC∥OB，

∴，

∴CD=2OB=8，

∵OA=OD=OB=3，

∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），

把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得

，解得，

∴一次函数解析式为，

∵反比例函数y=的图象经过点C，

∴k=-24，

∴反比例函数的解析式为y=-

（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，

即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围，

∵C（-3，8），

∴0＜-x+4≤-的解集为-3≤x＜0

（3）∵B（0，4），C（-3，8），

∴BC=5，

∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，

∴有BC=BP或BC=PC两种情况，

①当BC=BP时，即BP=5，

∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，

∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）；

②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，

∴线段BP的中点坐标为（0，8），

∴P点坐标为（0，12）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）

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