Question

已知，如图，等边三角形ABC中，点D，E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE，AD，EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：条件：AD=BE；由△ACD≌△BCE，得出∠ACD=∠BCE=15°，作DM⊥AC于M，作∠CDF=∠ACD=15°，：则∠MFD=30°得出DM=

1

2

DF，设AD=BE=x，则AM=

1

2

x，DM=

3

2

x，DF=

3

x，MF=

3

2

x，求出CF=DF=

3

x，则AB=AC=2x+

3

x，得出DE=AB-AD-BE=

3

x，AD、BE、DE构成的三角形为△NGH，作NO⊥GH于O，则OG=

1

2

GH=

3

2

x，求出∠GNO=60°，得出∠GNH=120°．

解答：解：条件：AD=BE；此时△ACD≌△BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵∠DCE=30°，
∴∠ACD=∠BCE=15°，
作DM⊥AC于M，作∠CDF=∠ACD=15°，交AC于F，如图1所示：
则∠MFD=30°，
∴DM=

1

2

DF，
设AD=BE=x，
则AM=

1

2

x，DM=

3

2

x，DF=

3

x，MF=

3

2

x，CF=DF=

3

x，
∴AB=AC=

x

2

+

3

2

x+

3

x=2x+

3

x，
∴DE=AB-AD-BE=2x+

3

x-2x=

3

x，
AD、BE、DE构成的三角形如图2所示：
作NO⊥GH于O，
则OG=

1

2

GH=

3

2

x，
∴∠GNO=60°，
∴∠GNH=120°．

点评：本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质以及三角函数的运用；培养学生综合运用等腰三角形的知识解决问题的能力．