【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.
【答案】(1) t=1或 ;(2)
【解析】试题分析:
(1)由∠B是△BPQ与△ABC的公共角,可知,若两三角形相似,存在两种情况:①△BPQ∽△BAC;②△BPQ∽△BCA;分这两种情况结合相似三角形的性质和题意即可解得对应的t的值;
(2)如图1,过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,由题意可知:当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CMP,由相似三角形的性质列出比例式即可解得对应的t的值.
试题解析:
(1)∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,
∴由勾股定理可得:BA=;
由题意现分两种情况讨论:
①当△BPQ∽△BAC时, ,
∵BP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8,
∴,解得: ;
②当△BPQ∽△BCA时, ,
∴,解得, ;
综上所述,当或时,△BPQ与△ABC相似.
(2)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图1所示:
∴∠PMB=∠ACB=90°,
∴PM∥AC,
∴△BPM∽△BAC,
∴,即,
∴PM=,BM=,
∴CM=.
∵AQ⊥CP,∠ACB=90°,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM,
∵∠ACQ=∠PMC,
∴△ACQ∽△CMP,
∴,即,解得.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(﹣2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线BC的函数解析式为y’=kx+b,求当满足y<y’时,自变量x的取值范围.
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
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【题目】如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
(1)在方程①3x-1=0;②x+1=0;③x-(3x+1)=-5中,不等式组关联方程是______(填序号).
(2)若不等式组的一个关联方程的根是整数,则这个关联方程可以是______(写出一个即可).
(3)若方程9-x=2x,3+x=2(x+)都是关于x的不等式组的关联方程,试求出m的取值范围.
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【题目】如图,AB∥DC,AC和BD相交于点O,E是CD上一点,F是OD上一点,且∠1=∠A.
(1)求证:FE∥OC;
(2)若∠BOC比∠DFE大20,求∠OFE的度数.
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【题目】某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度i=1:2,且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号)
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【题目】某高科技产品开发公司现有员工50名,所有员工的月工资情况如下表:
员工 | 管理人员 | 普通工作人员 | |||||
人员结构 | 总经理 | 部门经理 | 科研人员 | 销售人员 | 高级技工 | 中级技工 | 勤杂工 |
员工数(名) | 1 | 3 | 2 | 3 | 24 | 1 | |
每人月工资(元) | 21000 | 8400 | 2025 | 2200 | 1800 | 1600 | 950 |
请你根据上述内容,解答下列问题:
(1)该公司“高级技工”有 名;
(2)所有员工月工资的平均数x为2500元,中位数为 元,众数为 元;
(3)小张到这家公司应聘普通工作人员.请你回答右图中小张的问题,并指出用(2)中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些;
(4)去掉四个管理人员的工资后,请你计算出其他员工的月平均工资(结果保留整数),并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平.
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【题目】东方专卖店专销某种品牌的钢笔,进价12元/支,售价20元/支.为了促销,专卖店决定凡是买10支以上的,每多买一支,售价就降低0.10元(例如,某人买20支钢笔,于是每只降价0.10×(20﹣10)=1元,就可以按19元/支的价格购买),但是最低价为16元/支.
(1)求顾客一次至少买多少支,才能以最低价购买?
(2)写出当一次购买x支时(x>10),利润y(元)与购买量x(支)之间的函数关系式;
(3)有一天,一位顾客买了46支,另一位顾客买了50支,专实店发现卖了50支反而比卖46支赚的钱少,为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元/支至少要提高到多少,为什么?
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【题目】在一节数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大?问题提出后,同学们经过讨论,大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置,圆形硬纸板能盖住时的最小直径.老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上,如图所示:
(1)通过计算(结果保留根号与π).
(Ⅰ)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为
(Ⅱ)图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为
(Ⅲ)图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为
(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的,请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法,(只要画出示意图,不要求说明理由),并求出此时圆形硬纸板的直径.
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