Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是___．

Answer 1

【答案】或

【解析】

把函数y=﹣x2+2x+3化为顶点式y=a（x-h）2+k，向下平移使抛物线与线段OB有且只有一个交点，需找到临界值以及单独分析顶点落在x轴的情况．

解：分析题意可知，抛物线只能沿y轴向下平移，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4-t（t＞0），

当抛物线过原点时，抛物线与线段OB有两个交点，
此时，把（0，0）代入得：0=-（0-1）2+4-t，
解得t=3；
当平移后的抛物线的顶点落在x轴上时，x=1，y=0，
代入解析式得：0=-（1-1）2+4-t，
解得t=4，
若使平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点，

则0＜t＜3或t=4，
故答案为：0＜t＜3或t=4.