Question

如图：正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于F，求CF的长度．

Answer 1

考点：正方形的性质,角平分线的性质

专题：

分析：延长AF交DC的延长线于H，根据线段中点的定义求出CE=DE=1，再利用勾股定理列式求出AE，根据角平分线的定义求出∠BAF=∠EAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠H，然后求出∠EAF=∠H，根据等角对等边可得EH=AE，再求出CH，然后根据相似三角形对应边成比例可得

CF

BF

=

CH

AB

，再求解即可．

解答：解：如图，延长AF交DC的延长线于H，
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=

1

2

×2=1，
由勾股定理得，AE=

22+12

=

5

，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠EAF，
∵正方形的对边AB∥CD，
∴∠BAF=∠H，
∴∠EAF=∠H，
∴EH=AE，
∴CH=

5

-1，
∵AB∥CD，
∴△HCF∽△ABF，
∴

CF

BF

=

CH

AB

=

5 -1

2

，
∴CF=2×

5 -1

2+ 5 -1

=3-

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．