Question

【题目】如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F．

（1）求证：EF=ED；

（2）如果半径为5，cos∠ABC=，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）5

【解析】

⑴根据圆的性质与定义，利用角的关系即可求解；⑵根据圆的定义与性质，利用三角形的性质，通过勾股定理即可求解.

（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∵DE∥AB，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠BDF=90°，

∴∠1+∠F=90°，∠3+∠EDF=90°，

∴∠F=∠EDF，

∴EF=DE；

（2）连接CD，AD，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD=90°，

∵DE∥AB，

∴∠DEF=∠ABC，

∵cos∠ABC=，

∴在Rt△ECD中，cos∠DEC=，

设CE=3x，则DE=5x，

由（1）可知，BE=EF=5x，

∴BF=10x，CF=2x，

在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF=2x，

∵半径为5m，

∴BD=10，

∵BF×DC=FD×BD，

∴10x4x=102x，

解得：x=，

∴DF=2x=5．